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递归,递归算法经典实例,426,什么是递归,通过这篇文章,让你彻底搞懂递归

递归,递归算法经典实例,426,什么是递归,通过这篇文章,让你彻底搞懂递归

啥叫递归聊递归之前先看一下什么叫递归。 递归,就是在运行的过程中调用自己。构成递归需具备的条件: 1. 子问题须与原始问题为同样的...

啥叫递归

聊递归之前先看一下什么叫递归。 递归,就是运行的过程中调用自己。

构成递归需具备的条件: 1. 子问题须与原始问题为同样的事,且更为简单; 2. 不能无限制地调用本身,须有个出口,化简为非递归状况处理。

递归语言例子

我们用2个故事来阐述一下什么叫递归。

1,从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?“从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?‘从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?……’”

2,大雄在房里,用时光电视看着从前的情况。电视画面中的那个时候,他正在房里,用时光电视,看着从前的情况。电视画面中的电视画面的那个时候,他正在房里,用时光电视,看着从前的情况……

递归模板

我们知道递归必须具备两个条件,一个是调用自己,一个是有终止条件。这两个条件必须同时具备,且一个都不能少。并且终止条件必须是在递归最开始的地方,也就是下面这样

public void recursion(参数0) { if (终止条件) { return; } recursion(参数1);}

不能把终止条件写在递归结束的位置,下面这种写法是错误的

public void recursion(参数0) { recursion(参数1); if (终止条件) { return; }}

如果这样的话,递归永远退不出来了,就会出现堆栈溢出异常(StackOverflowError)。

但实际上递归可能调用自己不止一次,并且很多递归在调用之前或调用之后都会有一些逻辑上的处理,比如下面这样。

public void recursion(参数0) { if (终止条件) { return; } 可能有一些逻辑运算 recursion(参数1) 可能有一些逻辑运算 recursion(参数2) …… recursion(参数n) 可能有一些逻辑运算}

实例分析

我对递归的理解是先往下一层层传递,当碰到终止条件的时候会反弹,最终会反弹到调用处。下面我们就以5个最常见的示例来分析下

1,阶乘

我们先来看一个最简单的递归调用-阶乘,代码如下

public int recursion(int n) { if (n == 1) return 1; return n * recursion(n - 1);5}

这个递归在熟悉不过了,第2-3行是终止条件,第4行是调用自己。我们就用n等于5的时候来画个图看一下递归究竟是怎么调用的

如果看不清,图片可点击放大。

这种递归还是很简单的,我们求f(5)的时候,只需要求出f(4)即可,如果求f(4)我们要求出f(3)……,一层一层的调用,当n=1的时候,我们直接返回1,然后再一层一层的返回,直到返回f(5)为止。

递归的目的是把一个大的问题细分为更小的子问题,我们只需要知道递归函数的功能即可,不要把递归一层一层的拆开来想,如果同时调用多次的话这样你很可能会陷入循环而出不来。比如上面的题中要求f(5),我们只需要计算f(4)即可,即f(5)=5*f(4);至于f(4)是怎么计算的,我们就不要管了。因为我们知道f(n)中的n可以代表任何正整数,我们只需要传入4就可以计算f(4)。

2,斐波那契数列

我们再来看另一道经典的递归题,就是斐波那契数列,数列的前几项如下所示

[1,1,2,3,5,8,13……]

我们参照递归的模板来写下,首先终止条件是当n等于1或者2的时候返回1,也就是数列的前两个值是1,代码如下

public int fibonacci(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; 这里是递归调用;}

递归的两个条件,一个是终止条件,我们找到了。还一个是调用自己,我们知道斐波那契数列当前的值是前两个值的和,也就是

fibonacci(n) =fibonacci(n - 1) fibonacci(n - 2)

所以代码很容易就写出来了

//1,1,2,3,5,8,13……public int fibonacci(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; return fibonacci(n - 1) fibonacci(n - 2);}

3,汉诺塔

通过前面两个示例的分析,我们对递归有一个大概的了解,下面我们再来看另一个示例-汉诺塔,这个其实前面讲过,有兴趣的可以看下362,汉诺塔

汉诺塔的原理这里再简单提一下,就是有3根柱子A,B,C。A柱子上由上至下依次由小至大排列的圆盘。把A柱子上的圆盘借B柱子全部移动到C柱子上,并且移动的过程始终是小的圆盘在上,大的在下。我们还是用递归的方式来解这道题,先来定义一个函数

public void hanoi(int n, char A, char B, char C)他表示的是把n个圆盘从A借助B成功的移动到C。

我们先来回顾一下递归的条件,一个是终止条件,一个是调用自己。我们先来看下递归的终止条件就是当n等于1的时候,也就是A柱子上只有一个圆盘的时候,我们直接把A柱子上的圆盘移动到C柱子上即可。

//表示的是把n个圆盘借助柱子B成功的从A移动到Cpublic static void hanoi(int n, char A, char B, char C) { if (n == 1) { //如果只有一个,直接从A移动到C即可 System.out.println("从" A "移动到" C); return; } 这里是递归调用}

再来看一下递归调用,如果n不等于1,我们要分3步,

1,先把n-1个圆盘从A借助C成功的移动到B2,然后再把第n个圆盘从A移动到C3,最后再把n-1个圆盘从B借助A成功的移动到C。

那代码该怎么写呢,我们知道函数

hanoi(n, 'A', 'B', 'C')表示的是把n个圆盘从A借助B成功的移动到C

所以hanoi(n-1, 'A', 'C', 'B')就表示的是把n-1个圆盘从A借助C成功的移动到B

hanoi(n-1, 'B', 'A', 'C')就表示的是把n-1个圆盘从B借助A成功的移动到C

所以上面3步如果用代码就可以这样来表示

1,hanoi(n-1, 'A', 'C', 'B')2,System.out.println("从" A "移动到" C);3,hanoi(n-1, 'B', 'A', 'C')

所以最终完整代码如下

1//表示的是把n个圆盘借助柱子B成功的从A移动到C2public static void hanoi(int n, char A, char B, char C) {3 if (n == 1) {4 //如果只有一个,直接从A移动到C即可5 System.out.println("从" A "移动到" C);6 return;7 }8 这里是递归调用9}//表示的是把n个圆盘借助柱子B成功的从A移动到Cpublic static void hanoi(int n, char A, char B, char C) { if (n == 1) { //如果只有一个,直接从A移动到C即可 System.out.println("从" A "移动到" C); return; } //表示先把n-1个圆盘成功从A移动到B hanoi(n - 1, A, C, B); //把第n个圆盘从A移动到C System.out.println("从" A "移动到" C); //表示把n-1个圆盘再成功从B移动到C hanoi(n - 1, B, A, C);}

通过上面的分析,是不是感觉递归很简单。所以我们写递归的时候完全可以套用上面的模板,先写出终止条件,然后在写递归的逻辑调用。还有一点非常重要,就是一定要明白递归函数中每个参数的含义,这样在逻辑处理和函数调用的时候才能得心应手,函数的调用我们一定不要去一步步拆开去想,这样很有可能你会奔溃的。

4,二叉树的遍历

再来看最后一个常见的示例就是二叉树的遍历,在前面也讲过,如果有兴趣的话可以看下373,数据结构-6,树,我们主要来看一下二叉树的前中后3种遍历方式,

1,先看一下前序遍历(根节点最开始),他的顺序是

根节点→左子树→右子树

我们来套用模板看一下

public void preOrder(TreeNode node) { if (终止条件)// (必须要有) return; 逻辑处理//(不是必须的) 递归调用//(必须要有)}

终止条件是node等于空,逻辑处理这块直接打印当前节点的值即可,递归调用是先打印左子树在打印右子树,我们来看下

public static void preOrder(TreeNode node) { if (node == null) return; System.out.printf(node.val ""); preOrder(node.left); preOrder(node.right);}

中序遍历和后续遍历直接看下

2,中序遍历(根节点在中间)

左子树→根节点→右子树

public static void inOrder(TreeNode node) { if (node == null) return; inOrder(node.left); System.out.println(node.val); inOrder(node.right);}

3,后序遍历(根节点在最后)

左子树→右子树→根节点

public static void postOrder(TreeNode tree) { if (tree == null) return; postOrder(tree.left); postOrder(tree.right); System.out.println(tree.val);}

5,链表的逆序打印

这个就不在说了,直接看下

public void printRevers(ListNode root) { //(终止条件) if (root == null) return; //(递归调用)先打印下一个 printRevers(root.next); //(逻辑处理)把后面的都打印完了在打印当前节点 System.out.println(root.val);}分支污染问题

通过上面的分析,我们对递归有了更深一层的认识。但总觉得还少了点什么,其实递归我们还可以通过另一种方式来认识他,就是n叉树。在递归中如果只调用自己一次,我们可以把它想象为是一棵一叉树(这是我自己想的,我们可以认为只有一个子节点的树),如果调用自己2次,我们可以把它想象为一棵二叉树,如果调用自己n次,我们可以把它想象为一棵n叉树……。就像下面这样,当到达叶子节点的时候开始往回反弹。

递归的时候如果处理不当可能会出现分支污染导致结果错误。为什么会出现这种情况,我先来解释一下,因为除了基本类型是值传递以外,其他类型基本上很多都是引用传递。看一下上面的图,比如我开始调用的时候传入一个list对象,在调用第一个分支之后list中的数据修改了,那么后面的所有分支都能感知到,实际上也就是对后面的分支造成了污染。

我们先来看一个例子吧

给定一个数组nums=[2,3,5]和一个固定的值target=8。找出数组sums中所有可以使数字和为target的组合。先来画个图看一下

图中红色的表示的是选择成功的组合,这里只画了选择2的分支,由于图太大,所以选择3和选择5的分支没画。在仔细一看这不就是一棵3叉树吗,OK,我们来使用递归的方式,先来看一下函数的定义

private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) {}

在把递归的模板拿出来

private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { if (终止条件) { return; } //逻辑处理 //因为是3叉树,所以这里要调用3次 //递归调用 //递归调用 //递归调用 //逻辑处理}

这种解法灵活性不是很高,如果nums的长度是3,我们3次递归调用,如果nums的长度是n,那么我们就要n次调用……。所以我们可以直接写成for循环的形式,也就是下面这样

private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有 if (终止条件) { return; } //逻辑处理(可有可无,是情况而定) for (int i = 0; i < sums.length; i ) { //逻辑处理(可有可无,是情况而定) //递归调用(递归调用必须要有) //逻辑处理(可有可无,是情况而定) } //逻辑处理(可有可无,是情况而定)}

下面我们再来一步一步看

1,终止条件是什么?

当target等于0的时候,说明我们找到了一组组合,我们就把他打印出来,所以终止条件很容易写,代码如下

if (target == 0) { System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return; }

2,逻辑处理和递归调用

我们一个个往下选的时候如果要选的值比target大,我们就不要选了,如果不比target大,就把他加入到list中,表示我们选了他,如果选了他之后在递归调用的时候target值就要减去选择的值,代码如下

//逻辑处理 //如果当前值大于target我们就不要选了 if (target < sums[i]) continue; //否则我们就把他加入到集合中 cur.add(sums[i]); //递归调用 combinationSum(cur, sums, target - sums[i]);

终止条件和递归调用都已经写出来了,感觉代码是不是很简单,我们再来把它组合起来看下完整代码

private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有 if (target == 0) { System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return; } for (int i = 0; i < sums.length; i ) { //逻辑处理 //如果当前值大于target我们就不要选了 if (target < sums[i]) continue; //否则我们就把他加入到集合中 cur.add(sums[i]); //递归调用 combinationSum(cur, sums, target - sums[i]); }

我们还用上面的数据打印测试一下

public static void main(String[] args) { new Recursion().combinationSum(new ArrayList<>(), new int[]{2, 3, 5}, 8);}

运行结果如下

是不是很意外,我们思路并没有出错,结果为什么不对呢,其实这就是典型的分支污染,我们再来看一下图

当我们选择2的时候是一个分支,当我们选择3的时候又是另外一个分支,这两个分支的数据应该是互不干涉的,但实际上当我们沿着选择2的分支走下去的时候list中会携带选择2的那个分支的数据,当我们再选择3的那个分支的时候这些数据还依然存在list中,所以对选择3的那个分支造成了污染。有一种解决方式就是每个分支都创建一个新的list,也就是下面这样,这样任何一个分支的修改都不会影响到其他分支。

再来看下代码

private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有 if (target == 0) { System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return; } for (int i = 0; i < sums.length; i ) { //逻辑处理 //如果当前值大于target我们就不要选了 if (target < sums[i]) continue; //由于List是引用传递,所以这里要重新创建一个 List<Integer> list = new ArrayList<>(cur); //把数据加入到集合中 list.add(sums[i]); //递归调用 combinationSum(list, sums, target - sums[i]); }}

我们看到第13行是重新创建了一个list。再来打印一下看下结果,结果完全正确,每一组数据的和都是8

上面我们每一个分支都创建了一个新的list,所以任何分支修改都只会对当前分支有影响,不会影响到其他分支,也算是一种解决方式。但每次都重新创建数据,运行效率很差。我们知道当执行完分支1的时候,list中会携带分支1的数据,当执行分支2的时候,实际上我们是不需要分支1的数据的,所以有一种方式就是从分支1执行到分支2的时候要把分支1的数据给删除,这就是大家经常提到的回溯算法,我们来看下

private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有 if (target == 0) { System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return; } for (int i = 0; i < sums.length; i ) { //逻辑处理 //如果当前值大于target我们就不要选了 if (target < sums[i]) continue; //把数据sums[i]加入到集合中,然后参与下一轮的递归 cur.add(sums[i]); //递归调用 combinationSum(cur, sums, target - sums[i]); //sums[i]这个数据你用完了吧,我要把它删了 cur.remove(cur.size() - 1); }}

我们再来看一下打印结果,完全正确

递归分支污染对结果的影响

分支污染一般会对结果造成致命错误,但也不是绝对的,我们再来看个例子。生成一个2^n长的数组,数组的值从0到(2^n)-1,比如n是3,那么要生成

[0, 0, 0][0, 0, 1][0, 1, 0][0, 1, 1][1, 0, 0][1, 0, 1][1, 1, 0][1, 1, 1]

我们先来画个图看一下

这不就是个二叉树吗,对于递归前面已经讲的很多了,我们来直接看代码

private void binary(int[] array, int index) { if (index == array.length) { System.out.println(Arrays.toString(array)); } else { int temp = array[index]; array[index] = 0; binary(array, index 1); array[index] = 1; binary(array, index 1); array[index] = temp; }}

上面代码很好理解,首先是终止条件,然后是递归调用,在调用之前会把array[index]的值保存下来,最后再还原。我们来测试一下

new Recursion().binary(new int[]{0, 0, 0}, 0);

看下打印结果

结果完全正确,我们再来改一下代码

private void binary(int[] array, int index) { if (index == array.length) { System.out.println(Arrays.toString(array)); } else { array[index] = 0; binary(array, index 1); array[index] = 1; binary(array, index 1); }}

再来看一下打印结果

和上面结果一模一样,开始的时候我们没有把array[index]的值保存下来,最后也没有对他进行复原,但结果丝毫不差。原因就在上面代码第5行array[index]=0,这是因为,上一分支执行的时候即使对array[index]造成了污染,在下一分支又会对他进行重新修改。即使你把它改为任何数字也都不会影响到最终结果,比如我们在上一分支执行完了时候我们把它改为100,你在试试

private void binary(int[] array, int index) { if (index == array.length) { System.out.println(Arrays.toString(array)); } else { array[index] = 0; binary(array, index 1); array[index] = 1; binary(array, index 1); //注意,这里改成100了 array[index] = 100; }}

我们看到第10行,把array[index]改为100了,最终打印结果也是不会变的,所以这种分支污染并不会造成最终的结果错误。

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